Wir betrachten nun noch einmal unser Problem der Geschwindigkeitsbestimmung aus Kapitel 1.1.01 (ganz unten). Es gelang uns an dieser Stelle nicht den genauen Wert der Geschwindigkeit eines fallenden Steines (in diesem Fall repräsentiert durch die Steigung der Fallfunktion zur Zeit $t$) zur Zeit $t=1,5s$ zu ermitteln. Wir besitzen nun die neue Technik des Grenzwertes um das Problem zu lösen. Dazu nutzen wir die h-Schreibweise und lassen den Abstand $h$ gegen $0$ laufen. Für die zu betrachtende Stelle $a=1,5s$ gilt dann:
$$
\begin{align}
    \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{f(a+h)-f(a)}}{h}}&=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{f(1,5+h)-f(1,5)}}{h}}\\
    &=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{\left[{80-5\cdot\left(1,5+h \right)^2}\right]-\left[80-5\cdot 1,5^2\right]}{h}}\\
    &=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{\left[80-5\cdot\left(2,25+3h+h^2 \right)\right]-80+11,25}{h}}\\
    &=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{80-11,25-15h-5h^2-80+11,25}{h}}\\
    &=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{-15h-5h^2}{h}}\\
    &=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{-15-5h}\rightarrow {-15}
    \end{align}
$$

Dies hätte man auch in der Lösungsmöglichkeit 2 in Kapitel 1.1.01 erkennen können, indem man den zweiten $x$-Wert von $1,6s$ immer näher an $1,5s$ rangerückt hätte. Obige Methode gibt aber den Grenzwert direkt aus. Wir verallgemeinern nun diese neue Methode für unsere Zwecke und definieren uns:
 

Der genaue Wert für der Steigung an einer Stelle $a$ ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, welcher wie folgt definiert ist:
$$
\begin{align}
m_{Tangente}&=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{f(a+h)-f(a)}}{h}}
\end{align}
$$
Alternativ (aber eher unüblich) kann man auch den Grenzwert von links kommend bilden:
$$
\begin{align}
&=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{f(a-h)-f(a)}}{-h}}
\end{align}
$$
Man nennt ihn den Ausdruck auch Ableitung von $f$ an der Stelle $a$.

Geometrisch gedeutet wird durch das Schrumpfen des Wertes von $h$ die ursprüngliche Sekante mit der Sekantensteigung $m_{Sekante}$ zu einer Tangenten mit der Tangensteigung $m_{Tangente}$ durch den Punkt $(a\mid f(a))$. Dies kann man in der Abbildung links gut erkennen.


Nun ist man eventuell nicht nur an der Steigung an einer bestimmten Stelle der Funktion interessiert (wie oben bei $a=1,5s$), sondern vielleicht sogar an allen möglichen Stellen $x$. Die Lösung dieses Problems gestaltet sich relativ einfach. Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ soll nun die Funktion darstellen, welche jedem $x$ Wert der Funktion die exakte Steigung zuordnet. Gemeint ist damit also:
$$
\begin{align}
        f'(x)&=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{f(x+h)-f(x)}}{h}}\\
            &=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{f(x-h)-f(x)}}{-h}}
    \end{align}
$$
Wir machen uns dies an zwei Beispielen mit steigendem Schwierigkeitsgrd einmal deutlich und üben dabei gleich ein, wie die Ableitungsfunktion einer Funktion $f$ formal berechnet wird:

Beispiel 1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$. Dann bedeutet $f(x+h)=(x+h)^2$. Das $x$ wird also nun mit $(x+h)$ substituiert. Wir wenden nun die h-Methode an und kommen zu folgendem Lösungsweg:

$$
\begin{align}
f'(x) &=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{f(x+h)-f(x)}}{h}} & \qquad \text{Definition Differenzenquotient}\\
      &=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{(x+h)^2-x^2}}{h}} & \qquad \text{Einsetzen der Funktionswerte}\\
      &=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{x^2+2xh+h^2-x^2}}{h}} & \qquad \text{ausmultipliziert, nun Wegstreichen von $x^2$}\\
      &=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{2xh+h^2}}{h}} & \qquad \text{Ausklammern von $h$}\\
      &=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{h\cdot(2x+h)}}{h}} & \qquad \text{Das $h$ kann nun gekürzt werden.}\\
      &=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{{\left(2x+h\right)}} & \qquad \text{Wir lassen $h\rightarrow 0$ streben.}\\
      &\rightarrow{2x} \quad \text{für} \quad h\rightarrow 0 & \qquad \text{}\\
\end{align}
$$
Die Ableitungsfunktion $f'$ der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$ ist damit: $f'(x)=2x$.

Beispiel 2

Gegeben sei die Funktion $f$ mit $f(x)=3x^2+7x-4$. Wir bestimmen erneut die Ableitungsfunktion $f'(x)$:

$$\begin{align}
    f'(x) & =\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{f(x+h)-f(x)}}{h}}=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{3(x+h)^2+7(x+h)-4-(3x^2+7x-4)}}{h}} \\
    & =\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{3(x^2+2xh+h^2)+7x+7h-4-3x^2-7x+4}}{h}} \\
    & =\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{3x^2+6xh+3h^2+7x+7h-4-3x^2-7x+4}}{h}} \\
    & =\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{6xh+3h^2+7h}}{h}} \\
    & =\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{h(6x+3h+7)}}{h}} \\
    & =\lim\limits_{h \rightarrow 0}({6x+3h+7}) \\
    & \rightarrow 6x+7
    \end{align}
$$
Oder alternativ mal von links kommend:
$$
\begin{align}
    f'(x) & =\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{f(x-h)-f(x)}}{-h}}=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{3(x-h)^2+7(x-h)-4-(3x^2+7x-4)}}{-h}} \\
    & =\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{3(x^2-2xh+h^2)+7x-7h-4-3x^2-7x+4}}{-h}} \\
    & =\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{3x^2-6xh+3h^2+7x-7h-4-3x^2-7x+4}}{-h}} \\
    & =\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{-6xh+3h^2-7h}}{-h}} \\
    & =\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{h(-6x+3h-7)}}{-h}} \\
    & =\lim\limits_{h \rightarrow 0}({6x-3h+7}) \\
    & \rightarrow 6x+7
    \end{align}
$$
Die Ableitungsfunktion $f'$ der Funktion $f$ mit $f(x)=3x^2+7x-4$ ist damit: $f'(x)=6x+7$.

Wir stellen nun beide Funktionen $f$ und $f'$ aus dem obigen Beispiel 2 in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar und versuchen zu verstehen, wieso der Graph der Ableitungsfunktion die dargestellte Form besitzt. Die Betrachtung der Steigung der quadratische Funktion $f$ liefert folgende Auffälligkeiten:

$x<x_e$: Hier ist die Steigung der Tangenten der Funktion $f$ negativ.
$x>x_e$: Hier ist die Steigung der Tangenten der Funktion $f$ positiv.
$x=x_e$: An dieser Stelle ist die Steigung der Funktion $f$ genau $0$.

Genau dieses Verhalten spiegelt die Ableitungsgfunktion $f'$ zurück. Betrachten wir die Funktionswerte der Ableitungsfunktion, so erkennen wir, dass diese an der Stelle $x_e$ den Wert $0$ ergibt, links davon sind negative y-Werte abzulesen, rechts davon positive y-Werte. In Zukunft ist es also nicht mehr nötig auf geometrische Konstruktionen wie Sekanten und Tangenten zurückzugreifen:

Möchte man die Steigung einer Funktion $f$ mit $f(x)$ an der Stelle $a$ ermitteln, so bestimmt man einfach formal die Ableitungsfunktion $f'(x)$ und setzt die betreffende Stelle $a$ in die Ableitungsfunktion ein.