Im Folgenden wollen wir uns das Thema Änderungsraten aus den vorherigen Schuljahrgängen noch einmal anschauen. Betrachtet wir zunächst eine beliebige Funktion $f$ und markieren uns zwei Punkte $A$ und $B$. Die Verbindungsgerade (rote Gerade in der folgenden Abbildung) zwischen den zwei Punkten wird Sekante genannt.

Bilden wir nun wie in der Mittelstufe ein Steigungsdreieck zwischen diesen Punkten $A=(a\mid f(a))$ und $B=(b\mid f(b))$, so erhalten wir dadurch einen Wert für die Steigung dieser Sekanten. Nehmen wir nun an, dass die x-Werte der Punkte $A$ und $B$ den Abstand $h$ voneinander besitzen, so gilt:
$$
\begin{align}
m_{Sekante}&=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{f(b)-f(a)}}{h} \\
&=\frac{{f(a+h)-f(a)}}{h}
\end{align}
$$
Der Quotient, welcher die Steigung der Sekanten angibt,
$$
\frac{{f(b)-f(a)}}{b-a}=\frac{{f(a+h)-f(a)}}{h}
$$ wird Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate von der Funktion $f$ im Intervall [a;b] genannt und kann entweder in der Zwei-Punkt-Schreibweise oder in der h-Schreibweise angegeben werden.

Die mittlere Änderungsrate hat damit eine einfache geometrische Bedeutung: Sie gibt an, wie groß die Steigung der Verbindungsstrecke der beiden verbundenen Punkte ist und ist damit ein gemitteltes Maß dafür, wie stark eine Funktion in einem bestimmen Intervall steigt oder fällt. Sie gibt für jede Stelle $a$ einer Funktion $f$ mit dem Abstand $h$ zum Nachbarpunkt die Steigung der Sekante durch diese beiden Punkte an. Wir schauen uns ein erstes Beispiel dazu an:
 

Beispiel

Der freie Falle eines Steins aus 80m Höhe wird durch die Funktionsgleichung $f(t)=80−5\cdot t^2$ ($t$ in Sekunden, $f(t)$ in Meter) modelliert. Wir wollen nun die Durchschnittsgeschwindigkeit des Steines im dem Zeitraum von 0 bis 4 Sekunden bestimmen:

Lösung: Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann über den Differenzenquotienten im Intervall [0s;4s] bestimmt werden:
$$
m_{Sekante}=\frac{f(4)-f(0)}{4-0}=\frac{(80-80)-(80)}{4}=\frac{-80}{4}=-20
$$
Die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall [0s;4s] beträgt also $20m/s$.
 

Wie das letzte Beispiel zeigt kann die mittlere Änderungsrate also dazu genutzt werden reale Problemstellungen zu lösen. Dem mathematischen Begriff der Änderungsrate wird in diesem Beispiel eine reale (messbare) Größe, die Durchschnittsgeschwindigkeit, zugeordnet. Je nach dem welches Problem durch die Funktion modelliert wird, ergeben sich undenkbar viele Bedeutungen, die die mittlere Änderungsrate annehmen kann. Hier nur ein kurzer Abriss:

• x: Zeit in s, f(x): Größe in m $\Rightarrow$ $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ : Wachstumsgeschwindigkeit in m/s
• x: Zeit in Stunden, f(x): Weg in km $\Rightarrow$ $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ : Geschwindigkeit in km/h
• x: Weg in km, f(x): Menge Benzin in Liter $\Rightarrow$ $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ : Verbrauch in l/km
• x: Zeit in s, f(x): Geschwindigkeit in m/s $\Rightarrow$ $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ : Beschleunigung in $m/s^2$

Kommen wir auf die obige Aufgabe zurück und ändern nun die Aufgabenstellung ein wenig ab. Dies wird uns zeigen, welches Problem sich durch die mittlere Änderungsrate ergibt:
 

Beispiel (verändert)

Der freie Falle eines Steins aus 80m Höhe wird durch die Funktionsgleichung $f(t)=80−5\cdot t^2$ ($t$ in Sekunden, $f(t)$ in Meter) modelliert. Wir wollen nun die exakte Geschwindigkeit des Steines zum Zeitraum $t=1,5$ Sekunden bestimmen und versuchen hierfür den obigen Ansatz zu nutzen:

Lösungsversuch 1:
$$
m_s = \frac{f(1,5)-f(1,5)}{1,5-1,5}=\frac{(68,75-68,75)}{0}=\textit{undef.}
$$
Der Lösungsversuch mithilfe der mittleren Änderungsrate bei h=0 scheitert, da ein Teilen durch die Zahl $0$ mathematisch nicht erlaubt ist. Wir probieren einen anderen Ansatz, den man auch als Schummelansatz bezeichnen könnte:

Lösungsversuch 2:
Wir wählen für den Wert $b$ in der Gleichung des Differenzenquotienten nun einfach einen leicht davon abweichenden Wert mit einem Abstand von $h=0,1$, denn dann ergibt sich das Problem mit der Teilung durch nicht mehr. Es ergibt sich dann:
$$
m_s = \frac{f(1,6)-f(1,5)}{1,6-1,5}=\frac{(67,2-68,75)}{0,1}=\frac{-1,55}{0,1}=-15,5
$$
Die Geschwindigkeit beträgt also $15,5$ m/s. Schön und gut, aber dieser Wert stellt nicht die gesuchte exakte Geschwindigkeit des Steines zur Zeit $t=1,5$ dar, auch nicht dann wenn wir den Abstand zwischen den x-Werten der Punkte verkleinert. Wir haben lediglich die mittlere Geschwindigkeit in dem Zeitintervall [1,5s;1,6s] bestimmt, danach war jedoch nicht gefragt. Wir werden in einem der nächsten Kapitel eine Lösung für dieses Problem finden. Zunächst müssen wir aber ein anderes Thema wiederholen.