Für den Quotienten $f$ zweier Funktionen $g$ und $k$ mit:
$$
\begin{equation}
    f(x)=\frac{g(x)}{k(x)}
\end{equation}
$$
gilt:
$$
\begin{equation}
    f'(x)=\frac{g'(x)\cdot k(x)-g(x)\cdot k'(x)}{(k(x))^2}
\end{equation}
$$
Beweis: Ähnliches Vorgehen wie in Satz 1.

Beispiel:

Gegeben sei die Funktion $f$ mit
$$
\begin{equation}
    f(x)=\frac{2x^3+7x}{5x^2+1}
 \end{equation}
 $$
Es handelt sich um eine gebrochen rationale Funktion. Die Anwendung der Quotientenregel ist unerlässlich: Wir erkennen zunächst, dass es sich um einen Quotienten zweier Funktionen g und k handelt:
$$
\begin{equation}
    f(x)=\frac{\overbrace{2x^3+7x}^{g(x)}}{\underbrace{5x^2+1}_{k(x)}}
\end{equation}
$$
Damit wird nach der Quotientenregel die Ableitung wie folgt berechnet:
$$
\begin{align}
    f'(x) &=\frac{g'(x)\cdot k(x)-g(x)\cdot k'(x)}{(k(x))^2} \\
    &=\frac{(6x^2+7)\cdot (5x^2+1)-(2x^3+7x)\cdot (10x)}{(5x^2+1))^2} \\
    &=\frac{(30x^4+35x^2+6x^2+7)-(20x^4+70x^2)}{25x^4+10x^2+1} \\
    &=\frac{30x^4+41x^2+7-20x^4-70x^2}{25x^4+10x^2+1} \\
    &=\frac{10x^4-39x^2+7}{25x^4+10x^2+1}
\end{align}
$$