Für die Hintereinanderausführung $f$ zweier Funktionen $g$ und $k$ mit:
$$
\begin{equation}
    f(x)=g(k(x))
\end{equation}
$$
gilt:
$$
\begin{equation}
    f'(x)=g'(k(x))\cdot k'(x)
\end{equation}
$$
Beweis: Der Beweis dieses Satz ist etwas komplexer und wird an dieser Stelle nicht behandelt.

Beispiel:

Gegeben sei die Funktion $f$ mit
$$
\begin{equation}
    f(x)=(x^3+1)^2
\end{equation}
$$
Wir erkennen , dass hier zwei Funktionen im Spiel sind: $g(y)=y^2$ und $k(x)=y=x^3+1$. Hintereinander angewendet ergibt sie gerade den Term von $f$.

Daher wird nach der Kettenregel die Ableitung wie folgt berechnet:
$$
\begin{align}
    f'(x)& =g'(k(x))\cdot k'(x) \\
    & =2\cdot(x^3+1) \cdot (3x^2) \\
    & = (2x^3+2) \cdot (3x^2) \\
    & = 6x^5+6x^2
    \end{align}
$$