Neben der im letzten Kapitel gelernten Ableitungsregeln, gibt es noch weitere allgemeinere Regeln für das Ableiten von Funktionen. Im Folgenden sollen diese Ableitungsregeln vorgestellt, teilweise bewiesen und die Anwendung dieser Regeln eingeübt werden. Wir starten mit der Produktregel:

Für das Produkt $f$ zweier Funktionen $g$ und $k$ mit
$$
\begin{equation}
f(x)=g(x)\cdot k(x)
\end{equation}
$$
gilt:
$$
\begin{equation}
f'(x)=g'(x)\cdot k(x) + g(x)\cdot k'(x)
\end{equation}
$$
Beweis:

Wir stellen den Differenzenquotienten der Funktion $f$ auf und formen diesen durch einen kleinen Trick um:
$$
    \begin{align}    
    f'(x) & =\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{f(x+h)-f(x)}}{h}}=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x+h)\cdot k(x+h)-g(x)\cdot k(x)}{h}} \\
    & =\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{g(x+h)\cdot k(x+h)-g(x+h)\cdot k(x)+g(x+h)\cdot k(x)-g(x)\cdot k(x)}{h}} \\
    & =\lim\limits_{h \rightarrow 0}{g(x+h)\frac{k(x+h)-k(x)}{h}}+\lim\limits_{h \rightarrow 0}{k(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}} \\
    & =g(x)\cdot k'(x) + k(x)\cdot g'(x)
    \end{align}
$$

q.e.d.

Beispiel:

Wir wollen uns dazu ein kleines Beispiel anschauen, um zu schauen wie die Produktregel angewendet wird. Gegeben sei die Funktion $f$ mit
$$
\begin{equation}
f(x)=(2x^3+7x)\cdot (5x^2)
\end{equation}
$$
Wir erkennen zunächst, dass es sich um ein Produkt von zwei Funktionen $g$ und $k$ handelt:
$$
\begin{equation}
f(x)=\underbrace{(2x^3+7x)}_{g(x)}\underbrace{(5x^2)}_{k(x)}
\end{equation}
$$
Damit wird nach der Produktregel die Ableitung wie folgt berechnet:
$$
\begin{align}
    f'(x)& =g'(x)\cdot k(x) + g(x)\cdot k'(x) \\
    & =(6x^2+7)\cdot (5x^2)+(2x^3+7x)\cdot (10x) \\
    & = 30x^4+35x^2+20x^4+70x^2 \\
    & = 50x^4 + 105x^2
\end{align}
$$
Alternativ könnte man $f$ auch ausmultiplizieren und dann nach der Ableitungsregel für ganzrationale Funktionen ableiten:
$$
\begin{align}
    f(x) &=(2x^3+7x)\cdot (5x^2)=10x^5+35x^3 \\
    f'(x) &=50x^4+105x^2
\end{align}
$$
Zwingend notwendig wird die Anwendung der Produktregel also dann, wenn das Produkt nicht ausmultipliziert werden kann, wie zum Beispiel bei der Funktion f mit $f(x)=(2x^3+7x)\cdot sin(x)$.