Einfache Ableitungsregeln
Wir greifen nun ein wenig vor und schauen uns eine Tabelle an, in der u.a. auch viele ganzrationale Funktionen und ihre Ableitungen aufgelistet sind:
| $f(x)$ | $f'(x)$ | $f(x)$ | $f'(x)$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| $x^3$ | $3x^2$ | $x$ | $1$ | |||
| $5x^3$ | $15x^2$ | $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ | |||
| $-12x^2$ | $-24x$ | $\frac{1}{x^2}$ | $-2\cdot \frac{1}{x^3}$ | |||
| $-\frac{1}{2}x^4$ | $-\frac{4}{2}x³$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
Betrachtet man die Ableitungen der Funktionen in der linken Tabelle genauer, so kann man intuitiv einige Regeln für das Berechnen der Ableitung aufstellen:
| Aufbau der Funktion | Ableitung | Regel |
|---|---|---|
| Potenzfunktion allgemeiner Art $f(x)=x^n$ |
$f'(x)=n\cdot x^{n-1}$ | Potenzregel |
| Multiplikation mit konstantem Faktor $f(x)=c\cdot g(x)$ |
$f'(x)=c\cdot g'(x)$ | Regel konstanter Faktoren |
| Konstante Summanden $f(x)=g(x)+c$ |
$f'(x)=g'(x)$ | Regel konstanten Summanden |
Auf den Beweis der Potenzregel wird aus Zeitgründen verzichtet. Er ist mit den in der Schule gängigen mathematischen Methoden nicht schnell zugängig. Alle anderen Ableitungsregeln ergeben sich ziemlich einfach aus der Anwendung des Grenzwertes, welches exemplarisch am Beispiel des konstanten Faktors gezeigt werden soll:
$$
\begin{align}
f'(x) & =\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{f(x+h)-f(x)}}{h}}=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{c\cdot g(x+h)-c\cdot g(x)}}{h}} \\
& =\lim\limits_{h \rightarrow 0}{c\cdot\frac{{g(x+h)-g(x)}}{h}} \\
& =c\cdot\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{{g(x+h)-g(x)}}{h}} \\
& =c\cdot g'(x)
\end{align}
$$
Aber was ist mit der rechten Tabelle? Die erste Funktion $x=x^{1}$ lässt sich mit der Potenzregel zu $f'(x)=1x⁰=1$ ableiten.
Aber auch die Wurzelfunktion $f(x)=\sqrt{x}$, $f(x)=\frac{1}{x}$ und $f(x)=\frac{1}{x²}$ lassen sich mit obigen Regeln ableiten, da folgende Gleichheit gilt:
$$
\begin{align}
f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} \\
f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1} \\
f(x)=\frac{1}{x²}=x^{-2}
\end{align}
$$
Es handelt sich also eigentlich ebenso um Potenzfunktionen. Lediglich die Potenz ist nich ganzzahlig. Die Potenzregel zur Ableitung greift jedoch trotzdem. Probieren sie es aus.