Bevor wir uns mit der Lösung des letzten Problems beschäftigen, wiederholen wir den Begriff des Grenzwertes. Der Grenzwert (oder auch Limes genannt) bezeichnet in der Mathematik vereinfacht gesagt denjenigen Wert, dem sich eine Funktion an einer Stelle unter einer bestimmten Bedingung annähert. Der Unterschied zum Einsetzen eines $x$-Wertes ist dabei, dass der betrachtete Wert nicht erreicht werden muss.

Wir machen uns das an einem Beispiel klar. Gegeben sei zum Beispiel die Funktion $f$ mit $f(x)=x+3$. Der Mathematik möchte nun zum Beispiel untersuchen, welchen Wert die Funktion annimmt, wenn $x$ sich dem Wert $+\infty$ oder $-\infty$ annähert. Der Mathematiker schreibt hierfür dann:
$$
\begin{align}
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\left(x+3\right)}\rightarrow \infty
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{\left(x+3\right)}\rightarrow -\infty
\end{align}
$$
Man kann den $x$-Wert auch von links oder rechts gegen einen endlichen Wert laufen lassen und bestimmen welchen Wert sich die Funktion annähern würde:
$$
\begin{align}
\lim\limits_{x \rightarrow 1⁻}{f(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow 1⁻}{\left(x+3\right)}\rightarrow 4
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
\lim\limits_{x \rightarrow 1⁺}{f(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow 1⁺}{\left(x+3\right)}\rightarrow 4
\end{align}
$$
Der Grenzwert der Funktion nimmt unter der Bedingung, dass $x$ immer kleiner gewählt wird und sich $x$ der $1$ von links oder rechts annähert, den Wert $4$ an. Nun stellt man sich die Fragen: Dieses kann ich doch auch durch einfaches Einsetzen von $x=1$ in die Funktionsgleichung ermitteln, wieso dieser Umweg über diesen Grenzwert? Das liegt daran, dass es Funktionen gibt, in deren Funktionsgleichung bestimmte $x$-Werte gar nicht eingesetzt werden können, wie zum Beispiel die Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{x^2-1}{x+2}$. Wir betrachten zunächst die Grenzwertbildung von links:
 

$$
\begin{align}
\lim\limits_{x \rightarrow -2⁻}{f(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow (-2)⁻}{\frac{x^2-1}{x+2}}\rightarrow -\infty
\end{align}
$$
Da der Zähler des Bruches gegen einen endlichen Wert strebt, der Nenner jedoch gegen Null, aus dem negativen Bereich kommend (d.h. der Nenner ist $<0$), ist der Grenzwert mit $-\infty$ anzugeben. Schauen wir uns nun den rechtsseitigen Grenzwert an:
$$
\begin{align}
\lim\limits_{x \rightarrow -2⁺}{f(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow (-2)⁺}{\frac{x^2-1}{x+2}}\rightarrow \infty
\end{align}
$$
Der Grenzwert ergibt sich analog zu obigen Überlegungen zu $\infty$. Solche besonderen Stellen werden auch als Asymptoten bezeichnet und werden in einem späteren Kapitel nochmal vertieft.

Diese Informationen wären aber alle über das Einsetzen von $x=-2$ nicht zugängig gewesen, da die Funktion $f$ an dieser Stelle gar nicht definiert ist.